• 欢迎访问热点图书网

老师没教的数学-电子书下载

人文社科 热爱 读书 2年前 (2022-06-24) 1642次浏览 已收录 0个评论 扫描二维码

简介

本书是面向各年龄层次数学爱好者、以及自认为”数学不好的人”的一本科普书。
本书的创作宗旨在于选择有趣且不太为人熟知的数学问题,从有意思的角度切入讲解问题,力求以最浅显和生动的语言,将较为高深的数学知识介绍给读者,使读者不但能理解这些问题,更能获得思路继续研究和赏玩,从而获得更多乐趣。让读者摆脱数学恐惧症,建立数学思维,爱上学数学。作者也将数学家攻克此问题的过程中所遇到的困难,解决困难的思路一一整理,呈现给读者。让读者既能有读”历史”书一般的趣味,也能感受数学家的高超思维模式与某些问题的意外困难。
本书涉及的数学问题方面很广,包含数论,图论,微积分,概率论,博弈论,物理中的数学等等,按话题内容方向组织为8章,基本按从易到难排列。其中最后一章”历史趣味”是泛数学文化方面的话题,有助于读者体会到数学之美,增加对数学文化的理解和兴趣。
每一章末尾,作者还会留些与该章话题相关的”思考题”,多数题目的答案是开放性的,激发读者继续思考问题的乐趣。书中还配有相当数量的插图,便于读者直观理解。

作者介绍

李有华 计算机工程硕士毕业,长期爱好数学。坚持阅读国内外数学相关新闻,论文著作等。2016年开始在”喜马拉雅FM”平台上发布”大老李聊数学”节目,目前已有近40期节目,受到数学爱好者的广泛欢迎,更得到专业人士的认可。是目前国内仅有的专门从事数学科普的音频节目。

部分摘录:
一场由“无穷小”引发的危机
现在我们来讲讲“第二次数学危机”是如何被化解的。关于“三次数学危机”的说法虽然非常有名(但好像仅限于中国),但并没有很正式的“官方”认可,只是大家都这么说。第一次危机是有关无理数的出现;第二次是微积分的基础危机,具体来说,就是关于无穷小的;第三次是由罗素悖论引发的危机。这三次危机或多或少都是与“无穷”这个概念有关的,下面让我们看看第二次数学危机,这次危机的重点是关于“无穷小”这一概念。
大家在学微积分的时候,可能会出现以下这种疑虑。比如,关于“导数”这个概念,老师会说,所谓导数,就是一个函数,当它的自变量x变化很小时,函数值变化与这个自变量x的变化量的比值就是导数。但这两个量从形式上看就是0除以0嘛,怎么能算出一个具体的值呢?比如,当年贝克莱主教说的一个例子,各位上课时肯定是看到过的:计算y=x2的导函数。
老师说,让x有一个增量Δx,然后计算y的增量就是(x+Δx)2-x2。再让这个y的增量取除以x的增量Δx,化简之后得到2x+Δx。最后让Δx=0,得到y=x2的导函数是y=2x。这个计算过程确实美妙,但是在计算过程中,Δx曾经是作为除数的,也就是它不能等于0。但是到最后一步,你又让Δx=0了,这怎么可以呢?难怪贝克莱主教说,微积分是基于“双重错误”得到的一个正确结果。这个Δx一会儿不是0,一会儿又是0,到底是怎么回事?对于这个问题数学家必须给出一个明确的解答。
这么明显的问题,微积分的发明者牛顿和莱布尼茨不可能注意不到。牛顿一直没有很好地回答这个问题,前后的观点也多次反复。最早时,牛顿说Δx是一个常量,后来又说是“趋于0的变量”,再后来则说是“两个正在消失的量的最终比”。
莱布尼茨则更为直接地面对了这个问题,他直接定义了“无穷小量”的概念:无穷小是一个绝对值比任何正数都小,但是不等于0的常量。可以对这个无穷小量进行四则运算,他也通过这种无穷小量的概念,定义了微积分中的所有基础概念。甚至于莱布尼茨还写了一本著名的书,就叫《无穷小分析》。但是这个无穷小常量的概念实在是生造的,太不自然了,所以根本不能说服反对的人。因为无穷小量像是0,又不是0,贝克莱主教称它是“已死的量的幽灵”,是一种若有若无的含糊状态。
牛顿和莱布尼茨这两位微积分的祖师爷没能解决这个问题,但他们后继有人。首先是18世纪早期的苏格兰数学家麦克劳林对贝克莱的指责做了重要回应。麦克劳林采用的是一种复古的方法,即使用古希腊人在几何问题中常用的“穷竭法”。当年阿基米德就是用穷竭法来推导出圆面积公式的。麦克劳林试图用几何概念来一步一步推导出微积分里的每一个新概念,但可想而知这种方法是极为冗长乏味的。
而且使用几何方法的局限性也很明显,因为我们的空间只是三维的,如果一个函数是1到3次方的还行,超过这个范围的话,用几何方法推导实在是太困难了。18世纪,大多数数学家对他的推导不感兴趣,原因就像是我们已经有计算器了,如果还是强迫你使用算盘或者手算,你肯定不喜欢。尽管你不知道计算器的原理,也有人说计算器基础不完善,但在实践过程中,没有人会喜欢老旧且繁复的方法。
差不多与麦克劳林同时代的法国数学家达朗贝尔也试图说清楚什么是无穷小量。他不承认无穷小量的存在,而认为微积分学讲的是求“最初比”和“最终比”的方法,即求出这两个比的极限的一种方法。这里的一个关键词就是“极限”,可惜他没有摆脱几何方法的束缚,所以没能清楚地定义什么是极限,但他的这个思路无疑是正确的开端。
又过了几十年,法国数学家拉格朗日再一次尝试解决微积分的基础问题。这一次,他想完全“干掉”无穷小量,但是他回避了极限的概念,想用无穷级数来处理所有问题。拉格朗日在1797年出版的《解析函数论》中,其副标题是这样写的:“远离无穷小或消失的量,或极限,或流数的任何考虑,而归结为有限量的代数分析。”这个标题足以说明他的主要想法。但是丢了极限,就等于把一个利器也丢掉了。如此产生的结果,仍然无法达到他预想的严谨化的效果。比如,按他的方法,在无穷级数求和之前不用考虑它是否收敛,所以求和是相当随意的,这就会产生很多有歧义的结果。但是拉格朗日的工作,对微积分最终摆脱几何的束缚是十分重要的。
再之后就到了19世纪,这里首先要提交的是意大利数学家波尔查诺,他第一个给出了连续函数的定义,而且他也指出连续函数的定义是存在于极限概念之中的。不知道大家是否还记得课本里关于连续函数的定义,我记得是这样的:一个函数在某个点的左极限等于右极限,且等于函数在这个点的函数值,则称:函数在这个点连续。
你有没有觉得这个定义好繁复,细思极恐。你需要知道什么叫左极限和右极限,当然还需要知道什么是极限。但“连续”是如此直观简单的概念,你认为应该有更简单的定义吗?但是三思之后,你会发现确实没有其他更好更严谨的方法去定义连续了,除非你又要求助那个无穷小量。这样你就能看出极限概念的重要性了,没有极限,你连什么是“连续”这么一个简单的定义都解释不清楚。
波尔查诺之后,终于等到了一位里程碑式的人物,就是法国的柯西。相信在大家的高数课本里,柯西的名字大概是出现次数最多的。有人说微积分实际上被发明了两次,第一次是古典微积分,由牛顿和莱布尼茨发明。而第二次叫“极限微积分”或“现代微积分”,主要创始人就是柯西。现在我们课本里给出的微积分定义,其实都是极限微积分,其中大多数定义的基本形式都是柯西最先给出的。可以说柯西是现代微积分的奠基人。冯·诺依曼曾说“(微积分)严密性的统治地位基本上是由柯西重新建立起来的”。
柯西对微积分的最主要贡献就在于他定义清楚了极限概念,并且第一个使用有关“极限”的经典描述,它的开头是:“对任意小的……存在一个……使得……”但柯西的解释也有一些小的缺陷,一方面是著作中没有用标准化的语言;另一方面没有建立“一致连续”和“一致收敛”的概念,因而产生了一点错误。这方面的错误就要由接下来介绍的德国数学家魏尔施特拉斯来解决了。
魏尔斯施拉斯在数学分析里最大的贡献在于以ϵ-δ语言系统建立了分析学的严谨基础,基本完成了分析学的算术化。而且他是一位非常尽责的大学数学教师,魏尔施特拉斯把他的有关微积分的规范化的研究都放在了他的课堂教材中,这对学生来说大有裨益。魏尔施特拉斯教出的学生中,后来成为大学正教授的就有近一百人。考虑到当时任职德国大学正教授的难度,这是一个很惊人的数字。随着他的教学和他学生的工作,他的观点和方法被传播开来,他的讲稿中的内容也成了数学严格化的典范。
至此,经过约200年的时间,数学家们终于清除掉了“死掉的量的灵魂”,把微积分建立在严格的分析基础之上。后来不久,数学又迎来第三次危机,这是题外话,此处不表。
网上有人还提出了另一个有意思的问题:学过微积分的人都知道,用微积分计算出来的结果是一个精确值。但问题是,似乎没有人告诉我们,为什么结果会是精确值?因为从微积分的很多表述上看,计算结果似乎不是一个精确值,比如,“无限趋近于”“存在……使得……与……之间的差可以任意小”。这些用词给人的直观感受是,微积分的结果是一个近似值。比如,我们用微积分推导出的圆面积公式πr2,好像是说,这个公式算出来的值“无限趋近”于圆面积,而不是等于圆面积。这也是我们可以在“民科”网络论坛上经常看到的一个争论话题。
我们当然知道微积分计算所得结果并不是近似的,这里我就来证明一下:当两个量之间的差可以任意小时,这两个量就是相等的。第一步我们要定义清楚,什么叫“一个量无限接近另一个量”或者“一个量与另一个量的差可以任意小”。不妨把命题涉及的两个量称为x和y,现在已知x和y的差可以任意小,需要证明x=y。
首先搞清楚,什么叫“差可以任意小”。我们当然不能用无穷小量,否则贝克莱主教又要找碴了。那可以改用极限语言来描述:“对任意小的ϵ,存在一个δ,在某种情况下,总是有|x-y|<ϵ。”这里我说“某种情况下”,是原命题的缺陷,原命题中,x是什么东西并不明确,但这句话的意思就是“x和y之间的差可以任意小”。我现在开始用反证法:设x≠y,也就是|x-y|有一个大于0的值,比如说d。那么,存在一个d/2,任何情况下,你没办法使得|x-y|

下载地址

下载
喜欢 (0)
发表我的评论
取消评论

表情 贴图 加粗 删除线 居中 斜体 签到

Hi,您需要填写昵称和邮箱!

  • 昵称 (必填)
  • 邮箱 (必填)
  • 网址