简介
本书既是一部修正主义的数学史，也是一部修正主义的艺术史。在这部洞见迭出的书中，托尼·罗宾探究了第四维的不同模型，以及这些模型在物理学和艺术中的应用。罗宾探讨了切片模型（平面国模型）与投影模型（影子模型）的区别，比较了这两种模型的历史及其在大众文化中的运用和误用。使用他的原创性的论证——毕加索利用投影模型发明了立体主义，闵可夫斯基构建狭义相对论时对四维射影几何学已胸有成竹，本书力排众议，以扭量、准晶、量子拓扑学等当代数学中的空间涉及的一系列创新思想，逐一呈现投影模型的优势。 罗宾提出，射影几何学在发展当下数学思想中的强大作用，我们对切片模型的依恋实际上是阻碍理解时空当代模型的一个概念障碍，进而梳理了射影思想如何成为艺术、数学、物理学和计算机科学中如今一些激动人心的发展之源。
作者介绍
托尼·罗宾（Tony Robbin） 美国画家。1965 年毕业于哥伦比亚大学，1968 年毕业于耶鲁 大学艺术学院，获艺术硕士学位。1974 年在惠特尼美国艺术博物馆举办首次个展，此后其绘画、雕塑作品举办了二十六次个展，参加过一百余个群体展览。1993 年在丹麦理工大学建造大型雕塑 ；2011 年在奥兰多艺术博物馆举办回顾展。他是四维几何计算机可视化的先驱，著作有《四域：计算机、艺术与第四维》（1992）、《工程化新建筑》（1996）、《时空投影》（2006）等。
部分摘录：
“稍等一下，我不能同时在两个地方！”一个更为常识的概念很难找到，但量子实在（quantum reality）的根本奥秘在于，诸多事物确实同时在不止一个地方出现。无论如何描述量子事实（量子隧穿空间；量子跃变；量子有多个、并发的历史；量子处于多重态；量子具有模糊实在），量子事实都抵触我们的日常体验。例如，量子实在会建议人们可以使用同一把钥匙同时打开前门和后门的锁。两个锁都是真实的、机械的，由实心黄铜制成，存在于房屋的相反两侧。前门锁、后门锁并非快速连续打开，并未通过任何类型的通信系统连接；相反，它们是孤立的，且同时打开。确实，双重解锁将是一个事发之后重建的观察，但报告将是不能被质疑的直接观察到的事实。对这种意想不到的结果唯一令人满意的解释是，钥匙同时在前门和后门处。接受这种解释，就是接受量子实在。
这个基本的量子佯谬（quantum paradox），是杨氏双缝实验（最初设计用于显示光的波动性）的现代版本。1805年，为了证明这一特性，英国医生、物理学家托马斯·杨（Thomas Young）把光照在一个带有小缝的障碍物上。因为光是波，光在通过狭缝后会发散出来。若只有一条狭缝打开以允许光通过，则会出现自然渐变的光，中心处明亮，边缘处变暗。然而，若两条狭缝都打开，则两个光扇会干涉，当波峰遇到波峰时会出现亮斑，但是当波峰遇到波谷时，波会抵消并出现暗斑。当杨氏双缝设备按照预期产生明暗相间的条带时，光的波动性被证明。而当实验者能够削弱光线以便一次只有一个波包（即光子）能够通过狭缝到达障碍物时，概念性难题就出现了。随着光的减弱，它需要更长的时间，但随着时间的推移，一个个光子，在屏幕（摄影底片）上产生一个明暗相间的图样。令人吃惊的是，实验结局是相同的。只有一条狭缝产生了一个扇形，但是两条狭缝打开却产生了干涉图样。然而，每次只有一个对象位于装置中（例如，每秒一个光子），这意味着对象只能干涉它自身，只有它同时穿过两条狭缝时才能做到。
虽然阿尔伯特·爱因斯坦在其他方面有效地反对在物理科学中使用常识的概念，但他无法理解具有独立的先前存在性的真实物体可能同时存在于两个地方。1934年，爱因斯坦与鲍里斯·波多尔斯基（Boris Podolsky）和内森·罗森（Nathan Rosen）一起创造了一个思想实验，现在被称为EPR（爱因斯坦、波多尔斯基、罗森三人姓氏的首字母缩写），通过使用纠缠粒子来展示量子实在的荒谬性。两个粒子可以单线态（即纠缠态）创生，这意味着它们是单个实体的一部分，即使在相隔很远时也保持不变。纠缠态是由于粒子的波动性质——每个粒子都是各种波形的叠加；以叠加形式一起创生两个粒子。（也可能将两个以上的粒子纠缠在一起。）EPR指出，根据量子理论原理，人们可以任意选择测量纠缠粒子对的一个分量（位置或动量），通过这样做，知道关于另一个粒子的确定的东西（即永久影响某些东西）；因为这是瞬时完成的。由于没有任何东西被认为是瞬时的（也就是说，没有任何东西可以比光速更快地传播），这必然意味着在测量一个粒子之前两个粒子都不存在（两个粒子都在事发之后按指令创生），或者有隐变量（hidden variables）将粒子中后来可能做出的所有选择都预先编程到所有的可能结局中。换句话说，EPR有三种可能的解释：（1）粒子对通过快于光的通信或其他方法跨越空间（即诸粒子是非定域的）；（2）诸粒子直到测量才存在（即诸粒子是不真实的）；（3）整个量子理论，在其他方面非常成功，是不完备的，因为在某种程度上所有未来事件都是预先编程的（即存在隐变量）。EPR声称，最后一种选项成立，前两种选项完全不可接受。自爱因斯坦—波多尔斯基—罗森论文发表以来，长期的纠缠史一直是一场展示现在已达成共识的运动：并不存在什么隐变量，这些量子事件既是真实的，又是非定域的。
1966年，约翰·贝尔（John Bell）撰写了一篇论文，阐述了假想的EPR实验的可能结局。贝尔这篇非凡论文指出，经过多次试验，将有一种方法可以区分隐变量情景和非定域情景。事实上，贝尔不等式来自在许多纠缠粒子对的成员之间两个分离位置处观察到的相关性（在事发之后）的计数。隐变量只能解释一定数量的相关性，但如果实验提供了更多相关性的证据，如量子力学所预测的，就会有非定域性（nonlocality）的证据。贝尔定理引起了轰动，因为它提供了一种机制，可以实际实施爱因斯坦的思想实验。贝尔实验由好几个团队进行，结果各不相同，但总的来说爱因斯坦似乎是错误的。许多人认为，纠缠粒子既是真实的也是非定域的。
对此类实验的两个概念和技术改进增强了那些结果，使得信众更多。普林斯顿大学的物理学家约翰·惠勒（John Wheeler）意识到，观察者A（物理学家们的爱丽丝）和观察者B（鲍勃）做出的观察选择可以在纠缠对创生和发射之后执行，从而进一步打击隐变量提议。如果爱丽丝在粒子对创生之后测量了关于她的粒子（例如自旋角度，或其动量），鲍勃在他的粒子中发现了相关性，那么预编程将不可能长，考虑爱丽丝可能会选择在将来测量的任何变量。另一种可能，时间必须向后流动，以便在事后重新编程隐变量，从而挑战粒子的实在性。或者最后一种可能性，一些信号可以从爱丽丝的粒子发送给鲍勃的粒子，向鲍勃的粒子提供有关如何表现的信息。法国实验物理学家阿兰·阿斯佩克特（Alain Aspect）用实验取消了最后一个选项，其实验效果将爱丽丝和鲍勃分开得足够远，且足够密切地协调他们的观察，以便信息必须以三四倍的光速在他们的粒子之间传递。[1]后来实验者将这个数字推高到光速的一千万倍（Aczel 2001，236页）。
尽管贝尔的逻辑经受了严格的审查，但延迟选择选项对预编程系统（preprogrammed system）的概念造成了进一步的打击，而阿斯佩克特的实验证明了纠缠粒子（或纠缠粒子集）之间的联系是瞬时的，该实验的统计性质继续阻碍广泛接受这种反直觉的纠缠思想。在创生的大量粒子中，只有一些是纠缠粒子，只有在某些情况下，该装置会以这种方式俘获分离的纠缠对以测试非定域性，只有对这些许许多多次相对较少命中的统计分析证明了该结果。怀疑论者在这些变幻莫测中找到了安慰。令人震惊的是，1990年，丹尼尔·格林伯格（Daniel Greenberger）、迈克·霍恩（Mike Horne）、阿伯纳·希莫尼（Abner Shimony）和安东·齐林格（Anton Zeilinger）（统称为GHZ——希莫尼在之前关于这个科目的一篇论文之后才加入）发表了一篇名为《无不等式的贝尔定理》的论文。诸作者提出了一种带有四个纠缠粒子的装置，每个粒子都有自己的探测器。作为纠缠系统（entangled system）的一部分，有如此多的元素允许非定域事件在每次以特定方式俘获一组纠缠粒子时都有证据。后来，此种思想实验经过精炼，可以处理三个纠缠粒子，不久，物理学家阿拉文德（Padmanabhan Aravind）研究了三个纠缠粒子的联系（专栏8.1）。2001年，奇林格及其在维也纳的实验家团队实现了使用三个纠缠粒子的实验。奇林格得到了很强的结果：真实的非定域纠缠粒子即使在被禁止的类空间（非因果）距离分开的情况下也能协同奏效。关于统计不等式的不安已经一去不复返，取而代之的是更大的不安：量子实在——真实的、非定域的量子实在——乃是一个事实。
