简介
本书以数论和集合论两个数学理论为依据来展开介绍无穷这一概念。全书的形式为每一章讲一堂课，共8 章，每一章都以幽默、轻快的笔触，以及基础的数学符号来讲述与无穷相关的理论及悖论，展现了数学世界的精彩。在书中我们会遇到许多既熟悉又陌生的数学家、思想家及他们在数学之旅中的故事，如芝诺、毕达哥拉斯、伯特兰·罗素、艾米·诺特、欧几里得等；还介绍了相关的悖论和问题，加芝诺悖论、希尔伯特的旅馆悖论、阿基里斯与众神悖论、天堂与地狱悖论、罗斯- 利特尔伍德悖论、伽利略悖论等。 本书读起来轻松惬意，适合爱好数学的人阅读。
作者介绍
哈伊姆·夏皮拉：1962 年生于立陶宛，拥有数学和哲学方向的博士学位。他现在在为学生们讲解数学、心理学、哲学和文学方面的课程。他也是以色列广受欢迎的演说家、钢琴家和收藏家。
部分摘录：
好花时间在形形色色的几何图形和古古怪怪的数字谜题之中学习和嬉戏。我喜欢读这个名字时音节在舌尖弹跳而出：毕—达—哥—拉—斯。电光石火之间，我猛然惊醒这不凡之名必配不凡之人。千真万确！许许多多人认为毕达哥拉斯（公元前约570-公元前约495）是苏格拉底之前最有魅力的哲学家。“历史之父”希罗多德（公元前约484-公元前约425）已然指出毕达哥拉斯是古希腊最伟大的哲学家之一。甚至连骄横傲世的赫拉克利特（公元前约535-公元前约475），虽然坚称世人皆愚（他独聪），也承认毕达哥拉斯的学识在他之上。
毕达哥拉斯的生平已难考，主要是因为关于他的种种传闻都是写于其死后多年。毕达哥拉斯本人即使写过也不多。然而，《名哲言行录》的作者第欧根尼·拉尔修[1]提到了毕达哥拉斯的3本著作：《论教育》《论国家》《论自然》。但是孤证不立，许多历史学家断言这些并非毕达哥拉斯的著作。
顺便说一下，还有许多圣贤是不动笔写作的，比如苏格拉底。柏拉图为苏格拉底写了对话录，可惜没人为毕达哥拉斯记言。
我特别欣赏毕达哥拉斯的两本传记，一本的作者是新柏拉图派哲学家、数学家波菲利（约234-约305），另一本的就是第欧根尼·拉尔修。这两本传记天马行空、充满矛盾，尤其引人入胜，令人遐想。
毕达哥拉斯身负许多传说。有人坚信他是太阳神阿波罗之子，有记载他在同一时刻现身于四个不同的地方。（但是，第欧根尼在描述毕达哥拉斯生平的结尾时爆料说，其实有四个人都叫毕达哥拉斯，那么同一时刻能在四个不同的地方观察到“毕达哥拉斯”就不足为奇了。）有人发誓说毕达哥拉斯身高两米五。有人声称毕达哥拉斯拳法精湛从无败绩。拳赛前后，他弹起里拉琴，吟唱荷马与赫西俄德的诗句以娱情，甚至有人声称毕达哥拉斯的咏唱可以治病疗伤。请注意，波菲利与第欧根尼都详细记述过同一轶事：有一天，毕达哥拉斯沿河漫步，河水也欢呼致意：“您好，毕达哥拉斯……”
现在，我们关注毕达哥拉斯是多么“谦逊”。
有神，有人，有毕达哥拉斯。
——毕达哥拉斯[2]
据第欧根尼·拉尔修（假定我们相信他）所言，毕达哥拉斯对于给他的神秘形象添砖加瓦不遗余力。比如：他乐于回顾自己的“生生世世”，瞬间就能回忆得纤毫毕现；他回顾自己身为戟兵参加特洛伊战争。他也有许多不那么戏剧性的回忆，比如他曾经是一个成功的商人，一个国王的朝臣，一只动物，甚至是一片树叶。毕达哥拉斯是怎样知晓这一切的呢？据毕达哥拉斯所言，原来他曾遇到希腊神使赫尔墨斯，神使大为感动，允诺他除了不朽以外要什么礼物都可以。毕达哥拉斯要了生生世世永志不忘的能力。神使如他所愿！
神论哲学家、诗人色诺芬（公元前约570-公元前约475）曾讲过，毕达哥拉斯见人打狗，大力劝止——因为友人刚刚去世，灵魂寄于狗中。（希望那人乖乖听从了，因为传说中毕达哥拉斯可是个厉害的拳手。）
毕达哥拉斯乐于戏谑。他曾经消失了好长一段时间，再次现身城中时瘦骨嶙峋。他逢人便说自己去了死人国度，但他的故事里不但有他在死人国里的见闻，也有他不在时现实世界发生的真事。那他是怎么知道的？答案很简单：他藏身在老母亲家里啦，还极度减肥。老母亲告诉他时事新闻，他再对死人国的事信口开河——当然，说什么都可以，谁又会刨根问底呢？
虽然有以上种种传说，但是关于毕达哥拉斯，仍然有些事实无可争辩。
公元前570年左右，毕达哥拉斯生于萨摩斯岛。在40岁那年，他去往意大利南部的克罗顿，建立了毕达哥拉斯学派。该学派的结构分成政治、学术、宗教3支，传说信众最多达到300人。
后世的一些传记夸大了毕达哥拉斯在克罗顿的影响。这些故事里说毕达哥拉斯引导市民远离堕落，把他们转化得清心寡欲、亲如兄弟、求知、乐道。毕达哥拉斯雄辩滔滔，为人敬仰，但是他经常垂帘演讲，无人能睹其颜。（这更增加了他的神秘感，我准备对我的学生也这样做。）
毕达哥拉斯前往克罗顿之前，还曾为寻求基础知识而游学。他曾游历埃及、腓尼基（大致位于今天的叙利亚和黎巴嫩境内）、波斯帝国（今巴勒斯坦与以色列以及巴比伦）等地。埃及人教几何，腓尼基人传算术，迦勒底人授天文，此外马加人——也就是琐罗亚斯德人，传授他宗教奥义与养生秘诀。他甚至旅行到印度。但是，他曾拜见了什么样的哲人，探得怎样的智慧之骊珠，这一切仍是谜团。
毕达哥拉斯之死也有许多版本，大多数相当离奇。我告诉你一个最平凡的版本吧：毕达哥拉斯在90岁寿终正寝。
音律与数字
毕达哥拉斯与门徒探索宇宙法则的同时也研究音乐。你一定回想起来了，毕达哥拉斯爱好弹里拉琴，咏唱荷马和赫西俄德的诗歌（古希腊名著）。毕达哥拉斯相信音乐能动人心魄，升华感情（如果不信，请阅读列夫·托尔斯泰的《克鲁采奏鸣曲》）。毕达哥拉斯学派受毕达哥拉斯发现音律与数字的关系影响很深，这点我们都很清楚了。音律基于数字表现在方方面面，例如，毕达哥拉斯发现若两根琴弦的音高恰好差一个8度（比如C到），那么这两根琴弦的弦长之比是1:2；若两根弦的音高差5度（比如C到G），则弦长之比是2:3；若弦的音高差4度（C到F），则弦长之比是3:4。
音乐愉悦人心，妙在历历可数又不知其可数。
——戈特弗里德·莱布尼茨
毕达哥拉斯发现音乐可以用数字来表达，这对于他得出惊人的理论是重要的一步。他的理论是，世界完完全全建立在数字之上，无论以什么形式。事实上，亚里士多德在他的著作《形而上学》中指出：毕达哥拉斯是研究数学并认为数学理论是万物之理的第一人。
什么科学理论能保证科学理论的存在性呢？
——马丁·加德纳
数学也是视觉艺术之源。望远镜是基于几何和比例的：呈现在二维表面上物体的尺寸随与观察者距离的增大按比例缩小，而构图又是基于几何形状的。
几何学是万图之源。
——阿尔布雷特·丢勒
更进一步，毕达哥拉斯还用几何语言定义好坏正误。例如，对于“好”和“坏”，他用的术语是“直”和“曲”（当然是用的希腊文）。我们至今仍用“为官不正直”来指受贿。（译者注：原文是“弯曲的政治家”。但是中文里的“曲意逢迎”之类多是指下对上，行为主体是行贿方，这里的受贿方就不说“曲”而说“不正直”了。）直线是恰当的，曲线是不当的。遵循他的思路我们就能理解“正直之人”的说法了。（虽说一个人的姿态与品德没有什么联系。）
良缘之始——亲和数
亚里士多德曾经说过挚友是异体同心。但是毕达哥拉斯又是怎样定义友情的呢？请看下文，会有惊喜。
新柏拉图主义的学者伊安布利霍斯（约245-约325）也曾为毕达哥拉斯作传。据他描述，毕达哥拉斯学派用数字284和220来定义友情。
什么意思？！什么缘故？！
请把220的因数（能整除220的数）全加起来，再把284的因数全加起来，就能明白原因了。（这里说的因数不包括数字自身。）
220的因数是1、2、4、5、10、11、20、22、44、55和110，它们的和是284。
284的因数是1、2、4、71和142，它们的和是220！
根据毕达哥拉斯学派的理论，一对数字，如果其中一个的因数之和正好是另一个，就说它们犹如良缘一样。在数学上，我们称之为一对“亲和数”。
我们可以在计算机的协助下判断亲和数。除了（220与284）以外，亲和数对还有（1184与1210）、（2620与2924）、（5020与5564）和（6232与6368）。10000以内的亲和数对就只有这5对。如果你很无聊的话，就试试验证它们是否是亲和数吧。换言之，把每个数的因数（不包括它本身）全加起来，看看是否等于另一个。
乐意的话，你还可以做点更有挑战性的事——找找其他亲和数对。这时你大概要用到计算机了，但是别忘了，在1636年法国数学狂人皮埃尔·费马发现了17296与18416是一对亲和数，两年过后，鼎鼎大名的法国哲学家、数学家勒内·笛卡儿发现了亲和数对（9363584与9437056）。
